物理 素粒子系

この世の長さの最小単位「プランク長」

人類はミクロな世界を追い続けてきた。そのモチベーションは何かの役に立てるためという実用的なものではなく、純粋な科学的興味だったことだろう。

今回はそんなミクロな世界の話の限界、「プランク長」についての話をしようと思う。

 

目次

 

ミクロな世界はどうやって観測するか

目の分解能は0.1mmと言われている。分解能とは測定の細かさの限界のことだ。人間の目で判別できるのはせいぜい0.1mm程度で、それ以下の構造を調べるには何らかの助けがいる。その代表が光学顕微鏡だ。

小学校のとき理科の授業で顕微鏡を扱ったことは、誰しもの記憶に残っていると思う。あれは顕微鏡の中でも光学顕微鏡といい、分解能の理論値は100nm程度だ。

過去の偉人たちが分解能を数式で表現してくれている。2つの点光源の分解能を\(d\)とすると、以下の式のようになる。

$$d=κ\frac{λ}{N.A.}$$

ここで\(κ\)は比例係数で、\(λ\)は光の波長、\(N.A.\)はレンズの開口数を表している。

開口数とはレンズの分解能を決める指標のことで、\(N.A.=n\sin{θ}\)という式で表せる。\(n\)は物体と対物レンズの間の媒質の屈折率で、\(θ\)は対物レンズに入射する光線の光軸に対する最大角度のことだ(参考:Wikipedia「開口数」)。

分解能を表す式に波長が入ってくるのは少し不思議な気もするが、これは以下のようにイメージできる。

例えば長い波長の波を物体にぶつけたとき、物体はその波に乗ることができる。サーファーみたいなものだ。しかし短い波長の波には乗ることができない。むしろ波が跳ね返されてしまう。

まあつまり、波長が短いと物体に波が跳ね返され、そこに物体があることが確認できるが、波長が長いと物体が波に乗ってしまうので、そこにあることを識別できなくなるということだ。波長以下のものは識別できないと言い換えることもできる。

ここで重要なのは、分解能を波長が決めるということだ。波長を短くすれば短くするほど、上式の分解能の値は小さくなる。つまりより小さなスケールの世界が覗けるようになるということだ。

人間の目に見える可視光線の範囲だと、分解能のは100nm程度になる。これが光学顕微鏡の限界だ。それ以下のスケールの世界を除くには電子顕微鏡が必要になる。

 

電子顕微鏡とSTM

上でも書いたように、光学顕微鏡の分解能は可視光線の波長によって決まるため、100nm程度になる。例えばインフルエンザウィルスの大きさが100nm程度なので、そのくらいの観察が限界ということだ。

それよりも小さなスケールのものを観察するには電子顕微鏡を用いる。電子顕微鏡では光の代わりに電子を当てている。電子を用いる理由は、電子線の波長が可視光線よりも圧倒的に短いからだ。

電子を加速させる電圧にも依るが、電子線の波長は0.001nm程度になる。この波長だと、理論的に0.1nm程度の分解能を実現できる。

ただ、ここまで分解能を上げても、原子を観察するにはまだ足りない。水素原子の大きさが0.1nm程度なので、もう少し分解能を上げる必要がある。

このレベルのスケールの世界を覗くには走査型トンネル顕微鏡(STM)を使う。STMはトンネル電流を利用することで、物体の表面形状を観察する顕微鏡のことだ。

探針と物体表面の距離が原子1個分異なるだけでトンネル電流の値は大きく異なる。そのトンネル電流の値が常に一定に保たれるように、探針と物体表面の距離を制御することで、物体表面の形状をなぞるというわけだ。STMの分解能は原子レベルと言える。

ようやく分解能が原子レベルまでたどり着いたが、これよりもミクロな構造はどう観察しているのだろうか?

 

加速器という顕微鏡

上にも書いたように、分解能は波長で決まるので、よりミクロな世界を観測するためには、より短い波長を実現しなければならない

波長が短いということは、粒子のもつエネルギーが大きいということでもある。例えば光のエネルギー\(E\)と波長\(λ\)は以下の式で表すことができる。

$$E=\frac{hc}{λ}$$

ここで\(h\)はプランク定数、\(c\)は光速を表している。どちらも定数なので、エネルギー\(E\)を上げるほど\(λ\)は小さくなっていく。これは荷電粒子も同じだ。

なのでより短い波長を実現するには、エネルギーを増加させれば良い。手っ取り早いのは粒子を加速させ運動エネルギーを持たせることだ。ということで人類が発明したのが加速器である。

セルンの加速器がちょくちょくニュースにもなるので有名だろう。その全周は26.7kmにも及ぶ。

引用元:Wikipedia「欧州原子核研究機構」

CERNの加速器(Large Hadron Collider)は、陽子を光速の99.99999%まで加速させることで、1nmの更に1000万分の1の分解能を達成している。電子顕微鏡の実に100万倍の分解能だ。

ここまでくると見えないものなんて無さそうな気がしてくるが、1つの問題が生じる。アインシュタインの提唱した\(E=mc^2\)だ。

 

\(E=mc^2\)という壁

\(E=mc^2\)は、物体がもつエネルギーは質量に光速の2乗をかけたものと等しくなるという等式だ。アインシュタインが提唱した有名な式なので、多くの人が見たことがあるだろう。

この式が表すとおり、質量とエネルギーは等価であると言える。つまり粒子を加速させてエネルギーを大きくすると、その粒子の質量は増加したように振る舞うということだ。

エネルギーを大きくしていくと、質量が大きくなる。質量は重力を生み、周りのものを引きつけていく。やがては何もかもを飲み込み、光さえそこから脱出できなくなる。ブラックホールの誕生だ。

ブラックホールからは光さえも抜け出せないので、何が起こっているかを観測することはできない。ミクロな世界を見ようとすると粒子のエネルギーを大きくしていくしか無いが、やがてはブラックホールが誕生し何も観測できなくなるという限界があるのだ。

 

プランク長

上で触れた限界は計算によって求めることができる。実際に求めてみよう。

ブラックホールの半径をシュワルツシルト半径と呼び、以下の式で表すことができる。

$$r=\frac{2Gm}{c^2}・・・(1)$$

ここで\(G\)は万有引力定数だ。一方で波長\(λ\)は以下の式で表すことができる。

$$λ=\frac{h}{mc}$$

定義より\(r=\frac{λ}{π}\)なので

$$r=\frac{h}{πmc}・・・(2)$$

(1),(2)より

$$m=\sqrt{\frac{hc}{2πG}}$$

$$r=2\sqrt{\frac{hG}{c^3}}$$

このとき\(λ=2πl\)となるときの\(l\)をプランク長と言う。\(l=\frac{r}{2}=\sqrt{\frac{hG}{c^3}}\)なので、最終的に

$$l=1.62×10^{-35}$$

となる。これ以下の構造はどうやっても調べることができない。観測の限界という訳だ。

 

最後に

物理学では観測できないことは無いものとして考える。観測できない以上、考えても無駄だということだ。

プランク長以下の構造はどうあがいても観測することはできない。それは無いことと同義だ。なので物理学者がこの先を考えることはない。

自分も先人よろしく、今回はこれ以上考えるのをやめようと思う。それでは。

-物理, 素粒子系

© 2021 ノノ〆のδ線 Powered by AFFINGER5